Geometria 4

 

Orario del corso A.A. 2018-2019

Le lezioni inizieranno lunedì 11 marzo.

Esercitazioni A.A. 2018-2019

Le esercitazioni, a cura di Fabio Chillotti, inizieranno la settimana del 18 marzo.

Le prime due esercitazioni si terranno nei seguenti giorni:

Martedì 19 marzo dalle 11 alle 13 – Aula II

Mercoledì 20 marzo dalle 11 alle 13 – Aula II

NOVITÀ per quest’anno:  gli studenti possono consegnare settimanalmente lo svolgimento di una selezione degli esercizi proposti per casa. Se alla fine del corso uno studente consegna tutti gli esercizi richiesti e questi risultano svolti correttamente, non dovrà sostenere la prova scritta.

Per la prima settimana gli esercizi da consegnare sono:

N. 3,7,9,10 dal foglio Esercizi-1

N. 1,3,4,7 dal foglio Esercizi-2

Esercizi per casa

    1. Esercizi-1
    2. Esercizi-2
    3. Esercizi-3 da consegnare martedì 2 aprile
    4. Esercizi-4 da consegnare martedì 9 aprile
    5. Esercizi-5 da consegnare martedì 16 aprile
    6. Esercizi-6 da consegnare martedì 30 aprile
    7. Esercizi-7 da consegnare martedì 7 maggio
    8. Esercizi-8 da consegnare martedì 14 maggio
    9. Esercizi-9 da consegnare martedì 21 maggio
    10. Esercizi-10 da consegnare martedì 28 maggio

Registro delle lezioni

A.A. 2017-18

A.A. 2018-19

Tracce delle prove

A.A. 17-18 14-06-18 10-09-18

Orario di ricevimento

Tutti i giorni su appuntamento. Per prenotare un appuntamento mandatemi una mail.

Obiettivi

L’insegnamento di Geometria 4 riguarda la geometria differenziale delle curve e delle superfici. In linea di massima, la geometria differenziale è l’utilizzo di strumenti del calcolo differenziale per studiare problemi di geometria. Più specificamente, in questo corso, applicheremo sia gli strumenti delle funzioni in più variabili che l’algebra lineare per studiare le proprietà geometriche delle curve e delle superfici nello spazio tridimensionale. Mentre la topologia, oggetto della Geometria 3, riguarda le proprietà conservate da omeomorfismi (biezioni continue con inverse continue), la geometria si riferisce a proprietà conservate da biezioni che preservano la distanza. Tali proprietà comprendono distanze (ovviamente) e angoli, nonché altre proprietà familiari, non topologiche, come lunghezze di curve, aree, volumi e la proprietà geometrica più importante di tutte – la curvatura.
In particolare, ci occuperemo dei seguenti argomenti: la teoria delle curve nel piano e nello spazio, la teoria locale estrinseca delle superfici nello spazio tridimensionale (guardando una superficie dall’esterno), la teoria locale intrinseca delle uperfici (guardando una superficie dall’interno), le geodetiche, la curvatura, il teorema di Gauss-Bonnet e la teoria globale delle superfici. Più specificatamente, lo studente dovrebbe acquisire le seguenti conoscenze e capacità.

  • CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
    Conoscere il linguaggio della geometria differenziale delle curve e delle superfici con particolare attenzione alle curve parametrizzate, alle superfici parametrizzate e alla geometria intrinseca delle superfici.
  • CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE APPLICATE
    Capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare una piccola dimostrazione simile a quelle viste a lezione. Inoltre lo studente dovrà saper rappresentare le parametrizzazioni di curve e superfici notevoli, saper calcolare le curvature di curve e superfici, saper calcolare e risolvere le equazioni delle geodetiche.
  • AUTONOMIA DI GIUDIZIO
    Saper riconoscere quando una procedura logica è corretta. Saper scegliere la procedura più efficace per la soluzione di esercizi complessi.
  • ABILITÀ COMUNICATIVE
    Lo studente impara ad utilizzare il linguaggio moderno della geometria differenziale che gli permetterà di comunicare ed applicare in modo corretto i risultati della geometria moderna.
  • CAPACITÀ DI APPRENDERE
    Capacita di imparare a risolvere autonomamente esercizi e problemi complessi. Capacità di saper leggere e comprendere un testo avanzato di matematica anche in lingua inglese.

Prerequisiti

Algebra lineare. Coniche e quadriche. Calcolo differenziale. Elementi di topologia.

Programma del Corso

Richiami e complementi di algebra lineare e di geometria analitica. R^n e il suo gruppo dei movimenti rigidi.

Curve. Curve parametrizzate. L’ascissa curvilinea. Lunghezza di una curva. Riparametrizzazioni. La curvatura con segno delle curve piane. L’angolo di rotazione. Il teorema fondamentale delle curve nel piano. Curve piane famose: cicloide, trattrice, catenaria, lemniscate di Bernoulli. Il triedro di Frenet e le formule di Frenet per le curve nello spazio. Calcolo della curvatura e della torsione per le curve non parametrizzate con l’ascissa curvilinea. Il teorema fondamentale delle curve nello spazio. Determinazione di una curva con curvatura e torsione assegnate: il caso in cui curvatura e torsione sono costanti. Proprietà globali delle curve piane.

Superfici. Superfici parametrizzate. Parametrizzazioni regolari. Parametrizzazioni iniettive. Differenziale di una applicazione. Vettori tangenti e piano tangente. Superfici regolari di R^n. Metriche su superfici. La prima forma fondamentale. Orientazione di una superficie. Superfici orientabili. Una definizione geometrica di area.

Geometria estrinseca delle superfici. Definizione e proprietà dell’applicazione di Gauss. L’operatore di forma. La seconda forma fondamentale. Curvatura normale. Significato geometrico della formula di Eulero. Curvature principali. Curvatura gaussiana e curvatura media. L’applicazione di Gauss in coordinate locali. Superfici rigate e superfici di rotazione. Superfici minime. Campi di vettori su superfici.

Geometria intrinseca delle superfici. Isometrie e applicazioni conformi. L’applicazione stereografica. Le formule di Bianchi, di Brioschi e di Lie. Il Theorema Egregium. Equazioni di compatibilità. Trasporto parallelo e derivazione covariante. Geodetiche su una superficie. Equazioni delle geodetiche. Geodetiche delle superfici di rotazione. Relazione di Clairaut. Coordinate polari geodetiche. Classificazione locale delle superfici a curvatura di Gauss costante.

Il teorema di Gauss-Bonnet.

Metodi didattici

Il ricorso alla visualizzazione permette di sviluppare l’intuizione geometrica e costituisce un valido aiuto al ragionamento matematico.Viene stimolata, mediante un buon numero di esercizi risolti e proposti, la manualità nel calcolo nonché nella rappresentazione degli oggetti geometrici. Incontri settimanali dedicati agli esercizi hanno lo scopo di superare le difficoltà e migliorare l’apprendimento. Sarà inoltre utilizzato il software di calcolo simbolico Mathematica sia per visualizzare le superfici che per eseguire in modo automatizzato gran parte dei conti standard della teoria delle superfici in R^3. Il corso prevede 32 lezioni frontali di 2 ore ciascuna e 16 esercitazioni di 2 ore ciascuna.

Libri di Testo

M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover, 2016.

S. Montiel, A. Ros, Curves and Surfaces, Graduate Studies in Mathematics vol. 69, AMS, 2005

Libri per l’uso di Mathematica
R. Caddeo, A. Gray, Lezioni di geometria differenziale, Volumi I e II, CUEC, Cagliari, 2001 e 2002.

Libri di consultazione
D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometria intuitiva, Boringhieri, Torino, 1972.

Modalità di verifica della valutazione e criteri di attribuzione del voto finale

L’obiettivo della prova d’esame consiste nel verificare il livello di raggiungimento degli obiettivi formativi precedentemente indicati.
La prova d’esame consiste in una prova scritta ed una orale.

La prova scritta (della durata di 3 ore) consiste nello svolgimento di una selezione di 5 esercizi simili a quelli assegnati per casa durante il corso. Ogni esercizio vale 6 punti e la prova scritta si ritiene superata se il punteggio finale risulta non inferiore a 18. In questa prova si verificano principalmente: le conoscenze e le capacità di comprensione; le conoscenze e capacità di comprensione applicate; le capacità di apprendere.

La prova orale (mediamente di 40 minuti) consiste in una discussione su almeno tre argomenti svolti durante le lezioni. Lo studente deve dimostrare di aver capito ed assimilato gli argomenti svolti (conoscenze e le capacità di comprensione; conoscenze e capacità di comprensione applicate). In più lo studente deve dimostrare di essere in grado di spiegare le nozioni e le dimostrazioni apprese durante il corso (abilità comunicative). A tal fine è necessario che lo studente, durante la prova orale, scriva alla lavagna e spieghi tutti i passaggi che sta seguendo per arrivare alla conclusione di un ragionamento (autonomia di giudizio). Si consiglia di rispondere esattamente alle domande senza divagare e scrivendo da subito tutti i dettagli necessari (autonomia di giudizio, abilità comunicative).

Il voto finale dopo il colloquio orale è assegnato seguendo il seguente metodo.

Insufficiente: lo studente dimostra di non aver compreso molte delle costruzioni fondamentali della disciplina.

18-24: lo studente conosce quasi tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato sufficientemente gli argomenti.

25-28: lo studente conosce tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato bene gli argomenti; utilizza in modo corretto il linguaggio matematico.

29-30: lo studente conosce molto bene tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato molto bene gli argomenti; utilizza in modo corretto il linguaggio matematico; è in grado di spiegare le nozioni apprese.

30 e lode: lo studente conosce perfettamente tutti gli argomenti chiesti durante l’esame; dimostra di aver capito e assimilato in profondità tutti gli argomenti; utilizza in modo corretto il linguaggio matematico; è in grado di spiegare le nozioni apprese.

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