Magistrale

 

Insegnamenti previsti dal Corso di Studio

IA/0070 - CALCOLO NUMERICO

Anno Accademico ​2019/2020

Docente
LUISA ​FERMO (Tit.)
Periodo
Primo Semestre ​
Modalità d'Erogazione
Convenzionale ​
Lingua Insegnamento
ITALIANO ​


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Informazioni aggiuntive

CorsoPercorsoCFUDurata(h)
[70/85] ​ ​INGEGNERIA MECCANICA [85/00 - Ord. 2019] ​ ​PERCORSO COMUNE660
Obiettivi

1. Conoscenza e capacità di comprensione.
L'insegnamento, rivolto al primo anno del corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica, si propone di far acquisire allo studente una conoscenza operativa di metodi analitici e numerici di base per lo studio dei modelli differenziali alle derivate parziali di tipo stazionario ed evolutivo. I vari argomenti vengono descritti a fondo fornendo una giustificazione teorica per quanto possibile rigorosa.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione.
Durante il corso verranno discusse le possibili applicazioni dei metodi studiati, sia per quanto riguarda la risoluzione di particolari problemi matematici, soprattutto di tipo differenziale, sia per la loro applicazione a problemi tipici dei corsi di studio interessati.
3. Autonomia di giudizio.
Il corso fornisce agli studenti diligenti le competenze necessarie per applicare le metodologie matematiche descritte nel corso alla risoluzione di problemi applicativi connessi al proprio campo di studi.
4. Abilità comunicative.
La valutazione della prova scritta tiene conto della capacità dello studente di esporre in modo ordinato e coerente gli argomenti studiati. La sua abilità comunicativa viene ulteriormente valutata nel caso che lo studente sostenga anche una prova orale.
5. Capacità di apprendimento.
Il corso fornisce agli studenti diligenti una preparazione sufficiente alla comprensione di testi matematici avanzati, rendendoli capaci di ampliare in futuro le proprie conoscenze in modo autonomo.

Prerequisiti

1. Conoscenze. Il corso richiede una buona conoscenza dei concetti di base dell'algebra lineare e dell'analisi reale, che è possibile acquisire durante il corso di laurea triennale.
2. Abilità. Gli studenti dovranno essere in grado di applicare le metodologie apprese durante gli esami della laurea triennale. In particolare: calcolo di derivate e di integrali, aritmetica di matrici e vettori, calcolo di autovalori.
3. Competenze. Non sono richieste competenze particolari per l'accesso al corso. Sono sicuramente utili un'abitudine all'approccio matematico nella risoluzione di problemi e una buona capacità nella manipolazione di espressioni algebriche. Avere avuto esperienze nella programmazione dei computer può aiutare ad avere una comprensione più profonda degli algoritmi trattati e ad essere in grado di implementarli in modo efficace.
Corsi propedeutici. Non vi sono corsi propedeutici.

Contenuti

1. Introduzione alle equazioni alle derivate parziali e richiami sulla risoluzione analitica di ODEs (7 ore)
Classificazione delle equazioni alle derivate parziali. Modelli di tipo stazionario (equazione di Laplace), evolutivi del I ordine (equazione del calore) ed evolutivi del II ordine. La soluzione generale di una ODE lineare del II ordine. Introduzione all'analisi spettrale. Teoria spettrale di Sturm-Liouville. Conversione di una (ODE) di ordine superiore in un sistema di ODE del I ordine. Il caso particolare dei sistemi lineari di ODE a coefficienti costanti.

2. Elementi di analisi armonica (6 ore)
Ortogonalità delle funzioni trigonometriche e sviluppo di una funzione in serie di Fourier. Convergenza, integrazione e differenziazione delle serie di Fourier. Convergenza uniforme. Decadimento dei coefficienti di Fourier. Risoluzione di problemi con valori agli estremi (BVPs) mediante il metodo spettrale.

3. Risoluzione analitica di PDEs (9 ore)
Metodo degli integrali generali. Metodo di separazione delle variabili applicati a equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

4. Algebra lineare numerica (6 ore)
Autovalori ed autovettori di una matrice. Norme vettoriali e matriciali. Condizionamento e stabilità. I metodi iterativi di Jacobi e di Gauss-Seidel.

5. Risoluzione numerica di PDEs con il metodo alle differenze finite (12 ore)
Risoluzione delle ODEs lineari del 2° ordine con valori noti agli estremi. Valutazione dell’errore. Il metodo iterativo di Newton per la risoluzione di sistemi nonlineari. Il metodo di Newton-Jacobi per la risoluzione di modelli differenziali ordinari debolmente nonlineari con valori agli estremi. Risoluzione di equazioni ellittiche lineari mediante schemi alle differenze centrali. Risoluzione delle equazioni di tipo parabolico con uno schema implicito a 4 punti e di quelle iperboliche mediante uno schema implicito a 7 punti. Valutazione dell’errore di discretizzazione.

6. Risoluzione numerica di PDEs con il metodo agli elementi finiti (20 ore)
Introduzione agli spazi di Sobolev. Formulazione debole (variazionale) di una ODE con valori noti agli estremi e di una PDE di tipo ellittico con soluzione nota al bordo. Risoluzione di una ODE con elementi finiti di tipo spline lineari. Valutazione dell'errore. Reticolazione di un dominio bidimensionale. Costruzione di una base di elementi finiti di tipo box-splines. Loro costruzione con utilizzo del triangolo di riferimento. Il teorema della divergenza e la prima identità di Green. Applicazione alla risoluzione di problemi di tipo ellittico. Calcolo della stiffness matrix e della load matrix per una PDEs di tipo ellittico. Problema spettrale di Helmholtz. Risoluzione di PDes di tipo parabolico ed iperbolico in una e due variabili spaziali.

Metodi Didattici

Il corso consiste di 48 ore di lezione frontale e 12 ore di esercitazione. Al fine di garantire una maggiore efficacia dell'attività didattica, le lezioni e le esercitazioni, che prevedono anche lo svolgimento di prove d'esame, sono integrate tra loro senza soluzione di continuità. Contemporaneamente al corso si svolgono anche delle ore di esercitazioni aggiuntive volte ad assistere gli studenti nello studio e nella preparazione della prova finale. Il docente presta inoltre assistenza costante agli studenti, nell'arco dell'intero anno accademico, sia durante l'orario di ricevimento che attraverso messaggi di posta elettronica.

Verifica dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta. La prova consiste nello svolgimento di alcuni esercizi, inerenti l'intero programma del corso, che richiedono sia abilità operative che conoscenze teoriche. Lo studente dovrà dimostrare di conoscere e aver capito gli algoritmi descritti durante il corso, nonché di essere in grado di applicarli per la risoluzione di esercizi. Le prova si intende superata solo se lo studente ha riportato una votazione non inferiore a 18/30. Lo studente ha facoltà di richiedere una successiva prova orale al fine di migliorare la valutazione riportata. Allo stesso modo, il docente può richiedere una prova orale, se lo ritiene necessario per poter valutare correttamente la preparazione dello studente.
Per superare l'esame lo studente deve dimostrare di possedere una conoscenza di base di tutti gli argomenti trattati nel corso. Per conseguire il massimo punteggio, pari a 30/30, lo studente deve dimostrare di conoscere in modo eccellente gli argomenti del corso e di essere in grado di applicarli alla risoluzione di problemi. La lode è riservata agli studenti che uniscono una conoscenza profonda dei contenuti ad un'esposizione elegante.
Per gli studenti frequentanti è prevista un'ulteriore modalità di esame. Essa prevede lo svolgimento di due prove scritte intermedie. La prima si svolge dopo le prime 30 ore di lezione, nella settimana di pausa didattica prevista dalla Facoltà, e consiste nello svolgimento di alcuni esercizi inerenti la parte di programma svolta fino a quel momento. La seconda coincide con il primo appello della sessione di esami e riguarda la parte rimanente, ma richiede comunque una visione globale sull'intero programma. L'esame si intende superato se lo studente ha riportato in entrambe le prove una votazione non inferiore a 18/30. Anche in questa modalità lo studente e il docente hanno facoltà di richiedere una successiva interrogazione orale.
Gli studenti hanno la possibilità di verificare il proprio livello di preparazione nel corso delle esercitazioni svolte dal docente. In queste occasioni potranno mettere alla prova le proprie capacità nello svolgimento di esercizi e prove d'esame, confrontando i propri risultati con quelli presentati dal docente.

Testi

S. Seatzu, C. van der Mee, P. Contu,
MATEMATICA APPLICATA. Un Secondo Corso,
SIMAI e-lecture notes 13, SIMAI, Torino, 2017.
ISBN-A: 10.978.88905708/10.
link:http://cab.unime.it/journals/index.php/lecture/article/view/1663

Letteratura aggiuntiva:
A. Quarteroni,
Modellistica Numerica per Problemi Differenziali,
Springer, Milano, 2016.

P.V. O'Neil,
Advanced Engineering Mathematics,
Fourth Edition, Brooke/Cole Publishing Company,
Pacific CA93950, USA, 2002.

M.S. Gockenbach,
Understanding and implementing the finite element method,
SIAM, Philadelphia 2006.

Altre Informazioni

Il principale strumento a supporto della didattica è costituito dal sito web del docente. Su tale sito sono disponibili informazioni aggiornate in tempo reale, che includono: un diario del corso che riporta gli argomenti svolti in ciascuna lezione, informazioni sulle attività didattiche, ulteriore materiale didattico, testi di prove d'esame, collegamenti alla pagina web dei precedenti docenti titolari del corso.

 

Obiettivi di Apprendimento – Percorso 2020-2021

 

 

 

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