Insegnamenti e programmi

 

60/64/178 - GEOMETRIA 3

Anno Accademico 2018/2019

GIANLUCA BANDE (Tit.)
Primo Semestre 
Convenzionale 
 



Informazioni aggiuntive

CorsoPercorsoCFUDurata(h)
[60/64]  MATEMATICA [64/00 - Ord. 2017]  PERCORSO COMUNE864
Obiettivi

CONOSCENZA E CAPACITA’ DI COMPRENSIONE:
Il corso si propone di far apprendere le nozioni di base di topologia generale quali: spazi metrici; spazi topologici e topologie; basi di una topologia; applicazioni continue; assiomi di numerablità e separabilità; spazi prodotto; spazi quoziente; spazi compatti; spazi connessi e connessi per archi.

CAPACITA’ APPLICATIVE:
Capacità di formulare correttamente affermazioni sugli spazi topologici e costruire in modo rigoroso dimostrazioni. Saper lavorare con le varie topologie studiate. Saper utilizzare correttamente le proprietà topologiche studiate per distinguere gli spazi topologici. Conoscere gli omeomorfismi studiati e saper costruire alcuni omeomorfismi semplici tra spazi topologici.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO:
Aver assimilato le tecniche della topologia generale per poterle applicare anche in altri contesti quali geometria, topologia differenziale e analisi.


ABILITÀ NELLA COMUNICAZIONE:
Lo studente imparerà ad utilizzare il linguaggio della topologia generale e a comunicare in modo rigoroso le nozioni e i risultati studiati.

CAPACITÀ DI APPRENDERE:
Capacita di imparare a risolvere autonomamente esercizi e problemi complessi. Capacità di saper leggere e comprendere un testo di base di topologia generale. Capacità di saper trovare le proprietà topologiche di spazi non troppo complicati e sapere usare queste conoscenze per distinguere due spazi topologici, in situazioni non eccessivamente complicate.

Prerequisiti

Conoscenza della Topologia della retta reale, delle funzioni continue, dell’Analisi reale e delle nozioni di gruppo, algebra lineare, geometria analitica, coniche e quadriche.

Contenuti

Insiemi e funzioni tra insiemi; la completezza dei numeri reali; la topologia della retta; funzioni continue da sottoinsiemi di R in R; definizione di spazio metrico; esempi di spazi metrici; la topologia degli spazi metrici; applicazioni tra spazi metrici; definizioni di topologia e spazio topologici; esempi di topologie e spazi metrici; interno, esterno, frontiera, chiusura; definizione di base di uno spazio topologico; esempi di basi di uno spazio topologico; topologie generate da basi; numerabilità; proprietà di separazione; successioni in uno spazio topologico; applicazioni continue, aperte e chiuse; omeomorfismi e embedding topologici; incollamento di funzioni continue; continuità e continuità sequenziale; affinita e isometrie dello spazio euclideo; alcuni sottospazi della retta e del piano; spazi convessi; varietà topologiche; la topologia prodotto; prodotti di applicazioni; spazi topologici connessi, connessione per archi: componenti connesse; spazi topologici compatti; compattezza negli spazi di Hausdorff; gruppi topologici e azioni di gruppi; compattezza negli spazi metrici; spazi numerabilmente e sequenzialmente compatti; la topologia quoziente; gli spazi quoziente; proprietà universale del quoziente; esempi di spazi quoziente; proprietà topologiche degli spazi quoziente; lo spazio proiettivo reale.

Metodi Didattici

Il corso prevede 64 ore di lezioni frontali alla lavagna. Sono previsti l'utilizzo di superfici costruite con stampanti 3D e la proiezione di video per stimolare la visualizzazione e l'intuizione di alcuni concetti topologici. Viene tenuto un registro delle lezioni disponibile sul sito docente e aggiornato dopo ogni lezione.

Verifica dell'apprendimento

Prova scritta (6 prove all'anno) e orale. La prova scritta consiste nello svolgimento di una selezione di 3 esercizi. Due esercizi sono simili a quelli assegnati negli esercizi per casa e/o domande di teoria; il terzo esercizio consiste nel discutere le proprietà topologiche di uno spazio topologico dato. Ogni esercizio vale 10 punti e la prova scritta si ritiene superata se il punteggio finale risulta non inferiore a 18. In questa prova si verificano principalmente: le conoscenze e le capacità di comprensione; le conoscenze e capacità di comprensione applicate; le capacità di apprendere.
Gli studenti che superano la prova scritta sono ammessi alla prova orale.
La prova orale consiste in una discussione su almeno tre argomenti svolti durante le lezioni. Lo studente deve dimostrare di aver capito ed assimilato gli argomenti svolti (conoscenze e le capacità di comprensione; conoscenze e capacità di comprensione applicate). In più lo studente deve dimostrare di essere in grado di spiegare le nozioni e le dimostrazioni apprese durante il corso (abilità comunicative). A tal fine è necessario che lo studente, durante la prova orale, scriva alla lavagna e spieghi tutti i passaggi che sta seguendo per arrivare alla conclusione di un ragionamento (autonomia di giudizio). Si consiglia di rispondere esattamente alle domande senza divagare e scrivendo da subito tutti i dettagli necessari (autonomia di giudizio, abilità comunicative). In ogni caso una risposta eccessivamente insufficiente o la non conoscenza di nozioni basilari (anche concernenti le nozioni dei corsi di base richiesti) può compromettere l’intera prova orale.

Testi

- A. Loi, Introduzione alla topologia generale, Aracne Editrice. (testo adottato)
- E. Sernesi – Geometria 2– Bollati Boringhieri (consultazione)
- C. Kosnioski- Introduzione alla Topologia Generale-Zanichelli (consultazione)

Altre Informazioni

Esercizi e testi degli esami precedenti sul sito del docente:
people.unica.it/gianlucabande

Il nostro Ateneo fornisce supporto agli studenti affetti da disturbi specifici dell'apprendimento (DSA). Chi fosse interessato può trovare maggiori informazioni al link: http://corsi.unica.it/matematica/info-dsa/

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