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60/73/8 - MATEMATICA COMPUTAZIONALE

Anno Accademico 2016/2017

Docente
GIUSEPPE RODRIGUEZ (Tit.)
Periodo
Secondo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
ITALIANO 



Informazioni aggiuntive

CorsoPercorsoCFUDurata(h)
[60/73]  INFORMATICA [73/00 - Ord. 2015]  PERCORSO COMUNE648
Obiettivi

1. Conoscenza e capacità di comprensione.
L'insegnamento, rivolto a studenti del II anno del corso di Laurea Magistrale in Matematica, si propone di far acquisire allo studente una conoscenza operativa delle metodologie avanzate dell'analisi numerica. I vari argomenti vengono descritti a fondo fornendo sia una giustificazione teorica rigorosa che indicazioni esaustive su alcune delle possibili applicazioni.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione.
Durante il corso verranno illustrate alcune delle possibili applicazioni dei metodi studiati in settori di diverse scienze applicate. Verrà richiesto agli studenti di implementare gli algoritmi in un linguaggio di programmazione e di verificare il loro funzionamento mediante una efficace sperimentazione numerica.
3. Autonomia di giudizio.
Il corso fornisce agli studenti le competenze di base per applicare le metodologie matematiche descritte durante il corso alla risoluzione di problemi applicativi.
4. Abilità comunicative.
Le capacità comunicative dello studente verranno valutate sia in una prova orale che in un elaborato scritto, in cui dovrà essere descritto in modo ordinato e coerente il tema assegnato, corredando la descrizione di una adeguata sperimentazione numerica.
5. Capacità di apprendimento.
Il corso fornisce agli studenti una preparazione specifica ai fini della comprensione di testi matematici avanzati e articoli scientifici, rendendoli capaci di orientarsi in modo autonomo nella letteratura recente del settore.

Prerequisiti

1. Conoscenze. Il corso richiede una buona conoscenza dei fondamenti dell'algebra lineare e dell'analisi matematica reale e complessa. E' necessario avere seguito un corso di base di analisi numerica, in cui siano stati trattati gli algoritmi diretti e iterativi di base per la risoluzione dei sistemi lineari. E’ richiesta una conoscenza di base del linguaggio Matlab.
2. Abilità. Gli studenti dovranno essere in grado di applicare le metodologie apprese durante il corso di laurea triennale e il primo anno della laurea magistrale. In particolare: calcolo di derivate e di integrali, manipolazione di espressioni matriciali e vettoriali, programmazione di algoritmi in Matlab o in un altro linguaggio.
3. Competenze. Per seguire il corso con profitto è indispensabile essere in grado di comprendere a fondo un modello matematico, di descrivere in modo efficace un algoritmo per la sua risoluzione.
Corsi propedeutici. Non vi sono corsi propedeutici.

Contenuti

1. Problemi ai minimi quadrati: impostazione teorica e proprietà (6 ore).
Motivazioni e cenni storici. Formulazione del problema ai minimi quadrati e caratterizzazione delle sue soluzioni. Sistema delle equazioni normali. Soluzioni di minima norma.
2. Metodi analitici fondamentali (18 ore).
Fattorizzazione di Cholesky. La decomposizione a valori singolari (SVD). Sistema singolare di un operatore lineare. Sottospazi fondamentali associati ad una matrice. Decomposizione polare di una matrice. Matrice pseudoinversa. Fattorizzazione QR. Fattorizzazioni rank revealing. Problemi mal condizionati o a rango non pieno. Decomposizione a valori singolari troncata (TSVD). Regolarizzazione alla Tikhonov.
3. Algoritmi numerici (12 ore).
Strategie di implementazione della fattorizzazione di Cholesky. Trasformazioni ortogonali elementari. Fattorizzazione QR mediante trasformazioni di Householder e di Givens. Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt classico e modificato. Calcolo della SVD. Tecniche di regolarizzazione. Stima dei parametri di regolarizzazione. Metodi iterativi: il metodo del gradiente e del gradiente coniugato. Precondizionamento.
4. Approssimazione di funzioni e quadratura numerica (8 ore).
Il problema della migliore approssimazione. Approssimazione in spazi di Hilbert. Caratterizzazione della soluzione. Approssimazione trigonometrica mediante serie di Fourier troncate. Polinomi ortogonali.
5. Laboratorio (4 ore)
Tecniche di programmazione avanzata in Matlab. Implementazione ottimizzata degli algoritmi studiati.

Metodi Didattici

Il corso consiste di 48 ore di lezione frontale, che includono anche esercitazioni in aula e nel laboratorio di informatica. Le esercitazioni in aula consistono nell'applicazione dei metodi studiati ad esempi e problemi, quelle in laboratorio riguardano l'effettiva implementazione degli algoritmi su di un computer. Il docente presta assistenza costante agli studenti, nell'arco dell'intero anno accademico, sia durante l'orario di ricevimento che attraverso messaggi di posta elettronica.

Verifica dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso la realizzazione di un elaborato scritto, su un argomento assegnato dal docente, e di una successiva prova orale. Lo studente dovrà dimostrare di conoscere e aver capito gli algoritmi descritti durante il corso, nonché di essere in grado di applicarli alla risoluzione di problemi. Le prova si intende superata solo se lo studente ha riportato una votazione non inferiore a 18/30.
Per superare l'esame lo studente deve dimostrare di possedere una conoscenza di base di tutti gli argomenti trattati nel corso. Per conseguire il massimo punteggio, pari a 30/30, lo studente deve dimostrare di conoscere in modo eccellente gli argomenti del corso e di essere in grado di discuterli in modo approfondito ed applicarli autonomamente.
Gli studenti hanno la possibilità di verificare il proprio livello di preparazione nel corso delle esercitazioni in laboratorio e di discussioni personali col docente.

Testi

I testi principali utilizzati durante il corso sono i seguenti:

G. Rodriguez.
Algoritmi Numerici.
Pitagora Editrice, Bologna, 2008.
ISBN: 88-371-1714-0.

Å. Björck.
Numerical Methods for Least Squares Problems.
SIAM, Philadelphia, 1996.
ISBN: 978-0-89871-360-2.

Ulteriori riferimenti bibliografici destinati ad approfondire argomenti specifici verranno forniti dal docente durante il corso.

Altre Informazioni

Il principale strumento a supporto della didattica è costituito dal sito web del docente. Su tale sito sono disponibili informazioni aggiornate in tempo reale, che includono: un diario del corso che riporta gli argomenti svolti in ciascuna lezione, informazioni sulle attività didattiche, ulteriore materiale didattico.

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