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IN/0186 - ANALISI MATEMATICA 1

Anno Accademico 2016/2017

Docente
ANTONIO IANNIZZOTTO (Tit.)
Periodo
Primo Semestre 
Modalità d'Erogazione
Convenzionale 
Lingua Insegnamento
 



Informazioni aggiuntive

CorsoPercorsoCFUDurata(h)
[70/75]  INGEGNERIA BIOMEDICA [75/00 - Ord. 2014]  PERCORSO COMUNE990
Obiettivi

1.Conoscenze e capacità di comprensione. L’insegnamento, rivolto a studenti del primo anno del Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica, si propone di far acquisire allo studente una conoscenza teorica e operativa della topologia della retta reale, dalla teoria delle successioni e serie a termini reali, della teoria delle funzioni reali di una variabile reale (calcolo differenziale e integrale), e dei fondamenti della teoria delle equazioni differenziali ordinarie.
2.Conoscenza e capacità di comprensione applicate. Durante il corso verranno discusse le principali applicazioni delle nozioni teoriche del programma, concernenti sia la risoluzione di problemi matematici, sia lo studio di alcuni problemi fisici e biologici.
3.Autonomia di giudizio. Il corso intende fornire agli studenti metodi alternativi per la risoluzione di diversi problemi (per esempio in teoria dell’integrazione o nelle equazioni differenziali), fra cui scegliere il più efficace caso per caso.
4.Abilità comunicative. Il corso, benché di livello elementare, è svolto nel linguaggio formalizzato e rigoroso tipico della matematica superiore, e intende anche aiutare gli studenti ad acquisire la chiarezza e la precisione necessarie nella comunicazione dei risultati scientifici.
5.Capacità di apprendere. Il corso fornisce i metodi matematici essenziali per lo studio della fisica, della biologia e delle discipline tecniche. Esso inoltre richiede una combinazione fra studio teorico, apprendimento operativo, e lo sviluppo autonomo delle nozioni acquisite, utile anche nelle successive esperienze formative degli studenti.

Prerequisiti

Nessun esame del Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica è propedeutico al corso di Analisi Matematica 1. È invece richiesta una buona conoscenza della geometria analitica, del calcolo simbolico, della trigonometria e delle funzioni trascendenti.

Contenuti

1. Insiemi numerici. Insiemi, elementi, appartenenza. Relazioni: equivalenze, ordinamenti, funzioni. Numeri naturali, interi, razionali. Principio di induzione. Numeri reali: struttura algebrica, ordinamento, completezza, estremi superiore e inferiore, densità. Formule di Archimede, Bernoulli, Newton. Topologia della retta reale: intorni, punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, insiemi chiusi e aperti. Numeri complessi: forma algebrica, trigonometrica, piano di Gauß, formula di De Moivre.
2. Successioni e serie numeriche. Successioni numeriche: definizione di limite, teoremi di unicità, conservazione del segno, confronto, operazioni con i limiti. Successioni limitate, monotone, sotto-successioni: teoremi di regolarità per successioni monotone, di Bolzano-Weierstraß, criterio di Cauchy, numero di Nepero, limiti superiore e inferiore. Serie numeriche: definizione di serie convergente, divergente, indeterminata, criterio di Cauchy. Serie a termini positivi: criteri del confronto, del rapporto, della radice, di Raabe, di condensazione. Serie a termini di segno variabile: convergenza assoluta, criterio di Leibniz, proprietà associativa e commutativa, prodotto di Cauchy.
3. Limiti e continuità. Funzioni reali di una variabile reale: dominio, condominio, grafico, funzioni composte e inverse, funzioni monotone, estremi locali e globali, simmetrie, convessità. Limiti di funzioni: definizione, criterio di Cauchy, teoremi di unicità, conservazione del segno, confronto, operazioni con i limiti, caratterizzazione sequenziale, limiti destro e sinistro, confronto di infiniti e infinitesimi. Funzioni continue: definizione, teoremi di Weierstraß, dei valori intermedi, classificazione delle discontinuità. Funzioni uniformemente continue: definizione, teorema di Cantor-Heine, funzioni lipschitziane.
4. Calcolo differenziale. Derivate: definizione, significato geometrico, continuita` di una funzione derivabile, derivate destra e sinistra, operazioni con le derivate, derivate delle funzioni composta e inversa, classificazione delle singolarit`a. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange, de l’Hôpital, caratterizzazioni della monotonia, asintoti al grafico. Derivate successive: derivata seconda, caratterizzazioni della convessità, flessi. Approssimazione mediante polinomi: formula di Taylor con resto di Peano, Lagrange, classificazione dei punti critici. Studio del grafico di una funzione.
5. Calcolo integrale. Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann: definizione, criterio di integrabilità, significato geometrico, integrabilità di funzioni continue, monotone, teorema della media. Integrazione indefinita: primitive, integrale indefinito, integrazione per parti, sostituzione, integrazione di funzioni razionali. Teorema fondamentale, funzione integrale, applicazioni al calcolo di aree. Integrali generalizzati: definizione, criteri di integrabilità.
6. Successioni e serie di funzioni. Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme, criterio di Cauchy, teoremi di scambio dei limiti, di limite e derivata, di limite e integrale. Serie di funzioni: convergenza totale, serie di potenze, raggio di convergenza. Serie di Taylor, funzioni analitiche.
7. Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali: definizione di soluzione, significato fisico, problema di Cauchy, teoremi di esistenza e unicit`a. Equazioni differenziali del primo ordine: equazioni a variabili separabili, logistiche, lineari a coefficienti variabili, di Bernoulli, di Clairaut. Equazioni differenziali del secondo ordine: equazioni lineari a coefficienti costanti, spazio delle soluzioni, determinante wronskiano, metodi della somiglianza, di variazione delle costanti. Cenni sulle equazioni differenziali di ordine superiore e sui sistemi.

Metodi Didattici

Lezioni frontali: 56 ore. Esercitazioni: 34 ore. Teoria ed esercizi vengono alternati senza soluzione di continuità, onde illustrare la correlazione fra i vari aspetti della disciplina. Il corso è accompagnato da attività di tutorato, simulazioni d’esame, e assistenza costante agli studenti.

Verifica dell'apprendimento

La verifica avviene attraverso un esame scritto, consistente nella risoluzione di alcuni problemi per i quali sono richieste conoscenze sia teoriche che operative. A integrazione della prova scritta, a richiesta dello studente o del docente è possibile svolgere una prova orale in cui lo studente risponde ad alcune domande. Entrambe le prove sono inerenti l’intero programma del corso. Per riportare la votazione sufficiente di 18/30, lo studente deve dimostrare di aver acquisito le conoscenze teoriche del corso e di saperle utilizzare con intelligenza critica e autonomia di giudizio, oltre che con diligenza.

Un’ulteriore modalità d’esame facoltativa è prevista per gli studenti che frequentano regolarmente le lezioni: essa prevede lo svolgimento di una prova scritta intermedia (da svolgersi approssimativamente a metà del corso e inerente gli argomenti trattati fino a quel momento) che, se superata, permette allo studente di rispondere alla prova scritta finale solo sulla parte restante del programma. L’eventuale prova orale rimane estesa all’intero programma.

Testi

C.D. Pagani, S. Salsa, “Analisi Matematica 1”, Zanichelli (2015)
S. Salsa, A. Squellati, “Esercizi di Analisi Matematica 1”, Zanichelli (2011)

Altre Informazioni

Il docente mette a disposizione degli studenti, sul suo sito web personale, appunti relativi al programma del corso (completi di esercizi svolti e da svolgere) e una raccolta di prove d’esame pregresse, oltre ad avvisi sugli esiti delle prove d’esame, avvisi relativi a eventuali cambiamenti di orario e altre informazioni utili per gli studenti.

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