Introduzione al calcolo delle variazioni

 

Docente: Antonio Greco

Tipologia: Triennale/Magistrale

CFU: 6

Prerequisiti: calcolo differenziale e integrale in dimensione finita, integrazione secondo Lebesgue (i prerequisiti corrispondono ai programmi di Analisi Matematica 1, 2 e 3).

Obiettivi formativi: in sintesi, l’obiettivo che lo studente deve raggiungere è avere un’idea delle origini, degli scopi, e di alcuni dei problemi e dei metodi del calcolo delle variazioni.

Più in dettaglio, il corso si articola in due parti aventi gli obiettivi appresso elencati:

1. Saper ricavare l’equazione di Eulero-Lagrange di un funzionale dato, e saperla risolvere almeno in casi particolarmente semplici, sotto altrettanto semplici condizioni al contorno.

2. Conoscere le definizioni ed alcune delle principali proprietà degli spazi funzionali più comunemente utilizzati, e saper dare qualche motivazione del ricorso a tali spazi.

Incidentalmente, lo studente dovrà acquisire, qualora non ne sia già in possesso, la capacità di risolvere problemi isoperimetrici elementari, come ad esempio determinare il rettangolo di area massima fra tutti quelli aventi un dato perimetro, che possono anche essere eventualmente riproposti in ambito scolastico.

Inoltre il corso è un’occasione per consolidare la conoscenza delle principali nozioni di ottimizzazione, libera e vincolata, ed in particolare dei concetti di massimo e minimo e del teorema di Fermat.

Programma

  • Problemi variazionali elementari: il problema isoperimetrico nella classe dei rettangoli, area massima di un triangolo avente due lati assegnati, area massima di un triangolo avente un lato e il perimetro assegnati, area massima di un poligono di 2n lati avente il perimetro assegnato.
  • Problemi classici del calcolo delle variazioni: il problema della brachistocrona, il problema del corpo di minima resistenza di Newton, il problema della catenaria, il problema isoperimetrico in dimensione 2, il problema di Plateau non parametrico.
  • Metodi classici: lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, lemma di Du Bois-Reymond, equazione di Eulero-Lagrange.
  • Spazi funzionali notevoli: spazi L^p, disuguaglianza di Young, disuguaglianza di Hölder, l’inclusione di Lp in Lq, con p > q, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, completezza di L^p, serie di Fourier in L^2, convergenza debole in L^p, teorema di compattezza debole in L^p, spazi di Sobolev, disuguaglianza di Poincaré.
  • Applicazioni al calcolo delle variazioni: la soluzione di Hurwitz del problema isoperimetrico.
  • Cenni al metodo diretto: semicontinuità inferiore, compattezza, successione minimizzante, teorema fondamentale (detto talvolta teorema di Tonelli, o di Weierstrass-Tonelli), applicazioni al funzionale lunghezza di una curva ed all’integrale di Dirichlet.

Testi adottati: dispense del docente, a disposizione sul sito http://people.unica.it/antoniogreco/didattica/materiale-didattico/

Testi di consultazione:
Amerio, Analisi Matematica, vol. 2 e vol. 3 parte II, UTET
Brézis, Analisi Funzionale, Liguori
Dacorogna, Direct methods in the Calculus of Variations, Springer
Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press
Pagani, Salsa, Analisi Matematica, vol. 2, Zanichelli
Renardy, Rogers, An introduction to partial differential equations, Texts in applied mathematics 13, Springer
Talenti, Colesanti, Salani, Un’introduzione al calcolo delle variazioni. Teoria ed esercizi, pubblicato dell’Unione Matematica Italiana

Verifica dell’apprendimento

La valutazione dello studente si basa su di una prova orale in cui vengono proposti alcuni quesiti scelti a campione fra i vari argomenti del corso. I quesiti sono, di norma, della stessa tipologia di quelli inclusi nel materiale didattico del corso. Lo studente dovrà rispondere utilizzando sia la parola che un apposito mezzo di scrittura (solitamente, una lavagna tradizionale) da utilizzarsi per un duplice scopo:

I. Sostenere le complesse argomentazioni che sono tipiche della matematica mediante l’uso della notazione convenzionale e, ove possibile, di opportune rappresentazioni grafiche;

II. Dimostrare la capacità di manipolare le espressioni formali nel rispetto delle regole che ne governano l’utilizzo.

Il punteggio della prova d’esame è attribuito mediante un voto espresso in trentesimi. La determinazione del voto finale tiene conto dei seguenti elementi:

1. La logica seguita dallo studente nella risoluzione del quesito;
2. La correttezza della procedura individuata per la soluzione del quesito;
3. L’adeguatezza della soluzione proposta in relazione alle competenze attese;
4. L’impiego di un adeguato linguaggio, e in special modo l’uso pertinente delle congiunzioni “cioè”, “quindi”, “se”;
5. La capacità di sostenere una discussione, e la capacità di individuare e correggere, discutendo, i propri eventuali errori, senza smarrirsi.

Sono valutati a favore dello studente, inoltre: lo spirito critico, la capacità di pensiero autonomo, lo spirito di iniziativa, e in generale il cosiddetto “pensiero divergente”, cioè l’uso creativo ed originale delle conoscenze di cui lo studente è in possesso.

Per superare l’esame, e riportare quindi un voto non inferiore a 18/30, lo studente dovrà dimostrare di aver acquisito una conoscenza elementare degli argomenti del corso. Ad un più completo raggiungimento degli obiettivi formativi corrisponde una votazione proporzionalmente maggiore. Agli studenti particolarmente brillanti può essere richiesto di affrontare problemi più impegnativi, corrispondenti al più alto livello cognitivo della tassonomia di Bloom, per il conseguimento della votazione massima con lode.

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